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99770 2011-8-17 08:56

費馬最後定理 Pierre de Fermat

<P>最近數論界或整個數學界最熱門的話題，是威爾斯教授證明了懸疑近三百年的費馬最後定理。威爾斯(Wiles，圖二) 畢業於英國劍橋大學。現任教於美國普林斯頓大學數學系。自小立志解決最後定理，足足費了七年，才於一九九三年公布研究成果，寄望在他四十歲之前拿下數學界的最高榮譽獎項──Fields Medal。但他的論文被發現有漏洞，直到兩年後，他跟他的學生泰勒(Taylor)才把漏洞彌補過來，但這時已超過得獎的年齡。
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<P>其實威爾斯證明了一九五０年代日本數學家志村五郎與谷山豐所提出猜想的一部份，威爾斯定理：每一半穩定的橢圓曲線都是模型曲線。而原來的志村-谷山猜想是：每一橢圓曲線都是模型曲線. </P>
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<P><FONT size=5 face=標楷體>費馬最後定理</FONT></P>
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<P>一六三七年左右，法國業餘數學家費馬（Pierre de Fermat，圖一）在他的《不定方程式論》（丟番圖著）一書的邊緣記下：任何立方數不能分成兩立方數的和，任何四次方數不能分成兩四次方數的和，任何五次方數也不能分成兩五次方數的和，如此類推。這就是後世所稱的費馬最後定理(Fermat Last Theorem)：
<P>
<BLOCKQUOTE>設 <SPAN class=MATH><I>n</I></SPAN> 是大於 2 的正整數，則方程式 <SPAN class=MATH><I>x</I><SUP><I>n</I></SUP>+<I>y</I><SUP><I>n</I></SUP>=<I>z</I><SUP><I>n</I></SUP></SPAN>，沒有正整數解。 </BLOCKQUOTE>
<P>他並附加道：我發現了一個非常漂亮的證明，但這裡沒有足夠的空間可容納得下。根據後世的考證，費馬或許有辦法證明 <SPAN class=MATH><I>n</I>=3,4,5</SPAN> 的情形，根據當時尚未成熟的數學歸納法而推斷這命題對任意<SPAN class=MATH><I>n</I>&gt;2</SPAN>皆成立。
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<IMG border=0 src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_30_11_3/sm_30_11_3_02.gif" width=294 height=181><BR>
<P>注意到若<SPAN class=MATH><I>d</I></SPAN>是<SPAN class=MATH><I>n</I></SPAN>的因數，則 <BR>
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<DIV class=mathdisplay align=center><IMG border=0 alt="\begin{displaymath}&#10;x^n+y^n=z^n \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfon...&#10;...s0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 106}},&#10;\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_30_11_3/img1.gif" width=264 height=27> </DIV>
<P><BR clear=all>&nbsp;</P>
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<P>因而 <BR></P>
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<DIV class=mathdisplay align=center><!-- MATH
\begin{displaymath}
x^d+y^d=z^d \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 204}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 106} } \rightarrow x^n+y^n=z^n \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 204}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 106}},
\end{displaymath}
--><IMG border=0 alt="\begin{displaymath}&#10;x^d+y^d=z^d \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfon...&#10;...s0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 106}},&#10;\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_30_11_3/img2.gif" width=264 height=27> </DIV>
<P><BR clear=all>&nbsp;</P>
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<P>又每一大於 2 的正整數，必定是 4 的倍數或奇質數的倍數，因而證明費馬最後定理，只需證明 <SPAN class=MATH><I>n</I>=4</SPAN> 與 <SPAN class=MATH><I>n</I></SPAN> 是奇質數的情形，但 <SPAN class=MATH><I>n</I>=4</SPAN> 已得證，剩下的只是證明 <SPAN class=MATH><I>n</I></SPAN> 是奇質數的情形。 </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>費馬出生於法國南部杜魯斯 (Toulouse) 不遠的小鎮，三十歲時承襲了治安推事的職業，透過書信往來，傳達他的數學信息，他在數論的成就不勝枚舉...</P>
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<P>原文引用自: <A href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_30_11_3/index.html" target=_blank>http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_30_11_3/index.html</A></P>
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